题意
已知 $a,b,c\in \mathbb{N}^*$，且 $a+b^2-2c-2=0,3a^2-8b+c=0$，求 $abc$ 的最大值。
$\operatorname{Sol}$
$\because 3a^2-8b+c=0$
$\therefore c=8b-3a^2$
代入 $a+b^2-2c-2=0$：
$b^2-16b+6a^2+a-2=0$
由于 $b$ 有解，$\therefore \Delta=16^2-4(6a^2+a-2)=-4(6a^2+a-66)\ge 0$
$\therefore 6a^2+a-66\le 0$
$\because a\in \mathbb{N}^*,\therefore a=1,2,3$
$1)$ $a=1$ 时，$b^2-16b+5=0,b=\dfrac{16\pm \sqrt{236}}{2}$，不符，舍去。
$2)$ $a=2$ 时，$b^2-16b+24=0,b=\dfrac{16\pm \sqrt{160}}{2}$，不符，舍去。
$3)$ $a=3$ 时，$b^2-16b+55=(b-5)(b-11)=0\therefore b_1=5,b_2=11$
$b=5$ 时，$c=13,abc=195$；$b=11$ 时，$c=61,abc=2013$
综上所述，$abc$ 的最大值为 $2013$。